求概率不等式 [E(XY)]^2<=E(X^2)E(Y^2)的证明

回答：

这是柯西－许瓦兹不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)。

证：对于任意实变量t，考虑函数

q(t) = E[(X+tY)^2]
= E(Y^2)t^2 + 2E(XY)t + E(X^2).

显然，对于一切实数t，q(t)≥0。这就意味着q(t)的判别式小于等于0，即

4[E(XY)]^2 - 4[E(X)^2 E(Y)^2] ≤ 0.

也就是

[E(XY)]^2 ≤ E(X)^2 E(Y)^2.

你这个其实是Cauchy不等式，从数学角度说，证得了一个普遍成立式便不必证明了
不过你要非具体证这个，用期望基本概念就行了，会多项式相乘你就会这个